Exponentiell tillväxt -

Exponential growth

Grafen illustrerar hur exponentiell tillväxt (grön) överträffar både linjär (röd) och kubisk (blå) tillväxt.

 

 Exponentiell tillväxt

 

 Kubisk tillväxt

 

 Linjär tillväxt

Exponentiell tillväxt är en process som ökar kvantiteten över tid. Det inträffar när den momentana förändringstakten (det vill säga derivatet ) av en kvantitet i förhållande till tiden är proportionell mot själva kvantiteten. Beskrivs som en funktion , är en kvantitet som genomgår exponentiell tillväxt en exponentiell tidsfunktion , det vill säga variabeln som representerar tiden är exponenten (i motsats till andra typer av tillväxt, såsom kvadratisk tillväxt ).

Om proportionalitetskonstanten är negativ, minskar mängden med tiden och sägs istället genomgå exponentiell förfall . I fallet med en diskret domän av definition med lika intervall, är det också kallas geometrisk tillväxt eller geometrisk sönderfall eftersom funktionsvärdena bildar en geometrisk progression .

Formeln för exponentiell tillväxt av en variabel x vid tillväxttakten r , när tiden t går i diskreta intervall (det vill säga vid heltal 0, 1, 2, 3, ...), är

${\ displaystyle x_ {t} = x_ {0} (1+r)^{t}}$

Termer som "exponentiell tillväxt" tolkas ibland felaktigt som "snabb tillväxt". Något som växer exponentiellt kan faktiskt växa långsamt.

Bakterier uppvisar exponentiell tillväxt under optimala förhållanden.

Biologi

• Ett virus (till exempel COVID-19 eller smittkoppor ) kommer vanligtvis att spridas exponentiellt först, om det inte finns någon artificiell immunisering . Varje infekterad person kan infektera flera nya människor.

Fysik

• Lavinspridning i ett dielektriskt material. En fri elektron blir tillräckligt accelererad av ett externt applicerat elektriskt fält så att den frigör ytterligare elektroner när den kolliderar med atomer eller molekyler i det dielektriska mediet. Dessa sekundära elektroner accelereras också, vilket skapar större antal fria elektroner. Den resulterande exponentiella tillväxten av elektroner och joner kan snabbt leda till fullständig dielektrisk nedbrytning av materialet.
• Kärnkedjereaktion (konceptet bakom kärnreaktorer och kärnvapen ). Varje uran kärna som undergår klyvnings producerar flera neutroner , vilka var och en kan absorberas genom angränsande uranatomer, vilket får dem att fission i tur och ordning. Om sannolikheten för neutronabsorption överstiger sannolikheten för neutronflykt (en funktion av formen och massan av uranet) ökar produktionshastigheten för neutroner och inducerade uranfissioner exponentiellt i en okontrollerad reaktion. "På grund av den exponentiella ökningstakten kommer 99% av energin vid varje tillfälle i kedjereaktionen att ha frigjorts under de senaste 4,6 generationerna. Det är en rimlig approximation att tänka på de första 53 generationerna som en latensperiod fram till själva explosionen, som bara tar 3-4 generationer. "
• Positiv återkoppling inom det linjära området för elektrisk eller elektroakustisk förstärkning kan resultera i den exponentiella tillväxten av den förstärkta signalen, även om resonanseffekter kan gynna vissa komponentfrekvenser hos signalen framför andra.

Ekonomi

• Ekonomisk tillväxt uttrycks i procent, vilket innebär exponentiell tillväxt.

Finansiera

• Sammansatt ränta till en konstant ränta ger en exponentiell tillväxt av kapitalet. Se även regel 72 .
• Pyramidsystem eller Ponzi -system visar också denna typ av tillväxt som resulterar i höga vinster för några få initiala investerare och förluster bland ett stort antal investerare.

Datavetenskap

• Bearbetningskraft för datorer. Se även Moores lag och tekniska singularitet . (Under exponentiell tillväxt finns det inga singulariteter. Singulariteten här är en metafor, avsedd att förmedla en ofattbar framtid. Länken mellan detta hypotetiska begrepp och exponentiell tillväxt görs högst av futuristen Ray Kurzweil .)
• Inom beräkningskomplexitetsteori kräver datoralgoritmer med exponentiell komplexitet en exponentiellt ökande mängd resurser (t.ex. tid, datorminne) för endast en konstant ökning av problemstorleken. Så för en algoritm av tidskomplexitet 2 ^x , om ett problem med storlek
  x = 10
  kräver 10 sekunder att slutföra, och ett problem med storlek
  x = 11
  kräver 20 sekunder, kommer ett problem med storlek
  x = 12
  att kräva 40 sekunder. Denna typ av algoritm blir vanligtvis oanvändbar vid mycket små problemstorlekar, ofta mellan 30 och 100 objekt (de flesta datoralgoritmer måste kunna lösa mycket större problem, upp till tiotusentals eller till och med miljoner objekt under rimliga tider, något som skulle vara fysiskt omöjlig med en exponentiell algoritm). Effekterna av Moores lag hjälper inte situationen särskilt mycket eftersom fördubbling av processorhastigheten bara gör att du kan öka problemstorleken med en konstant. Till exempel om en långsam processor kan lösa problem med storlek x i tiden t , då kan en processor dubbelt så snabbt bara lösa problem med storlek x + konstant vid samma tid t . Så exponentiellt komplexa algoritmer är oftast opraktiska, och sökandet efter effektivare algoritmer är ett av datavetenskapens centrala mål idag.

Internetfenomen

• Internetinnehåll, till exempel internetmem eller videor , kan spridas på ett exponentiellt sätt, som ofta sägs " gå viralt " som en analogi till spridning av virus. Med media som sociala nätverk kan en person vidarebefordra samma innehåll till många människor samtidigt, som sedan sprider det till ännu fler människor och så vidare, vilket orsakar snabb spridning. Till exempel överfördes videon Gangnam Style till YouTube den 15 juli 2012 och nådde hundratusentals tittare den första dagen, miljoner den tjugonde dagen, och visades kumulativt av hundratals miljoner på mindre än två månader.

exponentiell tillväxt:

${\ displaystyle {\ begin {align} a & = 3 \\ b & = 2 \\ r & = 5 \ end {align}}}$

exponentiell tillväxt:

${\ displaystyle {\ begin {align} a & = 24 \\ b & = {\ frac {1} {2}} \\ r & = 5 \ end {align}}}$

En kvantitet x beror exponentiellt på tiden t if

${\ displaystyle x (t) = a \ cdot b^{t/\ tau}}$

där konstanten a är initialvärdet av x ,

${\ displaystyle x (0) = a \ ,,}$

konstanten b är en positiv tillväxtfaktor, och τ är tidskonstanten - den tid som krävs för att x ska öka med en faktor av b :

${\ displaystyle x (t+\ tau) = a \ cdot b^{\ frac {t+\ tau} {\ tau}} = a \ cdot b^{\ frac {t} {\ tau}} \ cdot b^{ \ frac {\ tau} {\ tau}} = x (t) \ cdot b \ ,.}$

Om

Exempel: Om en bakterieart fördubblas var tionde minut, börjar med bara en bakterie, hur många bakterier skulle finnas närvarande efter en timme? Frågan innebär a  = 1, b  = 2 och τ  = 10 min.

${\ displaystyle x (t) = a \ cdot b^{t/\ tau} = 1 \ cdot 2^{(60 {\ text {min}})/(10 {\ text {min}})}}}$

${\ displaystyle x (1 {\ text {hr}}) = 1 \ cdot 2^{6} = 64.}$

Efter en timme, eller sex tio minuters intervall, skulle det finnas sextiofyra bakterier.

Många par ( b ,  τ ) av ett dimensionslöst icke-negativt tal b och en tid τ (en fysisk mängd som kan uttryckas som produkten av ett antal enheter och en tidsenhet) representerar samma tillväxttakt, med τ proportionell mot log  b . För varje fast b som inte är lika med 1 (t.ex. e eller 2), är tillväxthastigheten given av den tid som inte är noll τ . För varje tid utan noll τ är tillväxttakten given av det dimensionslösa positiva talet  b .

Således kan lagen om exponentiell tillväxt skrivas i olika men matematiskt ekvivalenta former genom att använda en annan bas . De vanligaste formerna är följande:

${\ displaystyle x (t) = x_ {0} \ cdot e^{kt} = x_ {0} \ cdot e^{t/\ tau} = x_ {0} \ cdot 2^{t/T} = x_ {0} \ cdot \ vänster (1+{\ frac {r} {100}} \ höger)^{t/p},}$

där x ₀ uttrycker den initiala kvantiteten x (0).

Parametrar (negativa vid exponentiellt förfall):

• Den tillväxtkonstanten k är frekvens (antalet gånger per tidsenhet) av växer med en faktor e ; inom finans kallas det också logaritmisk avkastning, kontinuerligt sammansatt avkastning eller intressekraft .
• Den e-fällbara tiden τ är tiden det tar att växa med en faktor e .
• Den dubbleringstid T är den tid det tar att fördubblas.
• Procentuell ökning r (ett måttlöst antal) under en period s .

Mängderna k , τ och T , och för en given p också r , har en en-till-en-anslutning som ges av följande ekvation (som kan härledas genom att ta den naturliga logaritmen för ovanstående):

${\ displaystyle k = {\ frac {1} {\ tau}} = {\ frac {\ ln 2} {T}} = {\ frac {\ ln \ vänster (1+{\ frac {r} {100} } \ höger)} {p}}}$

där k = 0 motsvarar r = 0 och att τ och T är oändliga.

Om p är tidsenheten är kvoten t / p helt enkelt antalet tidsenheter. Med hjälp av notationen t för det (dimensionslösa) antalet tidsenheter snarare än själva tiden kan t / p ersättas med t , men för enhetlighet har detta undvikits här. I detta fall är divisionen med p i den sista formeln inte heller en numerisk division, utan omvandlar ett måttlöst tal till rätt mängd inklusive enhet.

En populär approximerad metod för att beräkna fördubblingstiden från tillväxttakten är regeln om 70 , det vill säga ,.

${\ displaystyle T \ simeq 70/r}$

Diagram som jämför fördubblingstider och halveringstider för exponentiella tillväxter (fetstil) och sönderfall (svaga linjer) och deras approximationer på 70/ t och 72/ t . I SVG -versionen , håll muspekaren över en graf för att markera den och dess komplement.

Omformulering som log-linjär tillväxt

på båda sidor av den exponentiella tillväxtekvationen:

${\ displaystyle x (t) = x_ {0} (1+r)^{t}}$

${\ displaystyle \ log x (t) = \ log x_ {0}+t \ cdot \ log (1+r).}$

Detta gör att en exponentiellt växande variabel kan modelleras med en log-linjär modell . Om man till exempel vill empiriskt uppskatta tillväxthastigheten från intertemporal data på x , kan man linjärt regressera log x på t .

Differentialekvation

:

${\ displaystyle x (t) = x (0) e^{kt}}$

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = kx}$

säger att förändringen per tidpunkt av x vid tidpunkten t är proportionell mot värdet av x ( t ), och x ( t ) har det initiala värdet .

${\ displaystyle x (0)}$

Differentialekvationen löses genom direkt integration:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dx} {dt}} & = kx \\ [5pt] {\ frac {dx} {x}} & = k \, dt \\ [5pt] \ int _ {x (0)}^{x (t)} {\ frac {dx} {x}} & = k \ int _ {0}^{t} \, dt \\ [5pt] \ ln {\ frac {x (t)} {x (0)}} & = kt. \ end {align}}}$

så att

${\ displaystyle x (t) = x (0) e^{kt}}$

I ovanstående differentialekvation, om

k <0

, upplever kvantiteten exponentiell förfall .

För en olinjär variation av denna tillväxtmodell, se logistisk funktion .

Andra tillväxttakt

I det långa loppet kommer exponentiell tillväxt av något slag att ta sig över linjär tillväxt av alla slag (som är grunden för den malthusiska katastrofen ) liksom all polynomtillväxt , det vill säga för alla α:

${\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {t^{\ alpha} \ över ae^{t}} = 0.}$

Det finns en hel hierarki av tänkbara tillväxttakter som är långsammare än exponentiella och snabbare än linjära (i längden). Se Grad av ett polynom § Beräknat utifrån funktionsvärdena .

.

${\ displaystyle A (n, n)}$

Logistisk tillväxt

Den J-formade exponentiella tillväxten (vänster, blå) och den S-formade logistiska tillväxten (höger, röd).

Huvudartikel: Logistisk kurva

I verkligheten upprätthålls ofta den första exponentiella tillväxten inte för alltid. Efter en viss period kommer det att bromsas av yttre eller miljöfaktorer. Till exempel kan befolkningstillväxten nå en övre gräns på grund av resursbegränsningar. År 1845 föreslog den belgiska matematikern Pierre François Verhulst först en matematisk tillväxtmodell som denna, kallad " logistisk tillväxt ".

Begränsningar av modeller

Exponentiella tillväxtmodeller för fysiska fenomen gäller endast inom begränsade regioner, eftersom obegränsad tillväxt inte är fysiskt realistisk. Även om tillväxten initialt kan vara exponentiell, kommer de modellerade fenomenen så småningom att komma in i en region där tidigare ignorerade negativa återkopplingsfaktorer blir betydande (vilket leder till en logistisk tillväxtmodell ) eller andra underliggande antaganden i den exponentiella tillväxtmodellen, såsom kontinuitet eller omedelbar feedback, bryts ner.

Ytterligare information: Gränser för tillväxt , malthusisk katastrof och uppenbar infektionshastighet

Exponentiell tillväxtfördom

Studier visar att människor har svårt att förstå exponentiell tillväxt. Exponentiell tillväxtfördom är tendensen att underskatta sammansatta tillväxtprocesser. Denna fördom kan också få ekonomiska konsekvenser.

Nedan följer några berättelser som betonar denna fördom.

Ris på en schackbräda

Se också: Problem med vete och schackbräda

Enligt en gammal legend presenterade vizier Sissa Ben Dahir för en indisk kung Sharim ett vackert handgjort schackbräde . Kungen frågade vad han skulle vilja ha i gengäld för sin gåva och hovmannen överraskade kungen genom att be om ett riskorn på det första torget, två korn på det andra, fyra korn på det tredje, etc. Kungen gick lätt med och frågade för att riset ska tas med. Allt gick bra till en början, men kravet på 2 ^{n −1} korn på n: a torget krävde över en miljon korn på 21: a torget, mer än en miljon miljoner ( aka biljoner ) den 41: a och det fanns helt enkelt inte tillräckligt med ris i hela världen för de sista rutorna. (Från Swirski, 2006)

Den andra halvan av schackbrädet är den tid då ett exponentiellt växande inflytande har en betydande ekonomisk inverkan på en organisations övergripande affärsstrategi.

Näckros

Franska barn erbjuds en gåta, som verkar vara en aspekt av exponentiell tillväxt: "den skenbara plötslighet som en exponentiellt växande mängd närmar sig en fast gräns". Gåtan föreställer sig en näckrosväxt som växer i en damm. Växten fördubblas i storlek varje dag och om den lämnas ensam skulle den kväva dammen på 30 dagar och döda alla andra levande saker i vattnet. Dag efter dag är plantans tillväxt liten, så det är beslutat att det inte kommer att vara ett problem förrän det täcker hälften av dammen. Vilken dag blir det? Den 29: e dagen, lämnar bara en dag för att rädda dammen.

Se även

• Accelererande förändring
• Albert Allen Bartlett
• Arthrobacter
• Asymptotisk notation
• Bakteriell tillväxt
• Avgränsad tillväxt
• Celltillväxt
• Exponentiell algoritm
• EXPPACE
• EXPTIME
• Hausdorff -dimension
• Hyperbolisk tillväxt
• Informationsexplosion
• Lagen om snabbare avkastning
• Lista över exponentiella ämnen
• Logaritmisk tillväxt
• Logistisk funktion
• Malthusian tillväxtmodell
• Menger svamp
• Moores lag
• Kvadratisk tillväxt
• Steins lag

Referenser

Källor

• Ängar, Donella. Randers, Jorgen. Ängar, Dennis. Gränserna för tillväxt : 30-årsuppdateringen. Chelsea Green Publishing, 2004. ISBN  9781603581554
• Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers och William W. Behrens III. (1972) Gränserna för tillväxt . New York: University Books. ISBN  0-87663-165-0
• Porritt, J. Kapitalism som om världen spelar roll , Earthscan 2005. ISBN  1-84407-192-8
• Swirski, Peter. Of Literature and Knowledge: Explorations in Narrative Thought Experiment, Evolution, and Game Theory . New York: Routledge. ISBN  0-415-42060-1
• Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achse Exponential Growth , Wiley dec 2005, ISBN  0-471-74747-5
• Tsirel, SV 2004. Om de möjliga orsakerna till jordbefolkningens hyperexponentiella tillväxt . Matematisk modellering av social och ekonomisk dynamik / Ed. av MG Dmitriev och AP Petrov, s. 367–9. Moskva: Russian State Social University, 2004.

externa länkar

• Tillväxt i en ändlig värld - Hållbarhet och den exponentiella funktionen - presentation
• Dr Albert Bartlett: Aritmetik, befolkning och energi - strömning av video och ljud 58 min