Lista över Mersenne-primtal och perfekta tal -
List of Mersenne primes and perfect numbers

Från Wikipedia, den fria encyklopedin

Cuisenaire-stavar som visar de rätta divisorerna för 6 (1, 2 och 3) vilket ger upp till 6
Visualisering av 6 som ett perfekt tal
En graf som plottar år på x-axeln med antalet siffror i det största kända primtal logaritmiskt på y-axeln, med två trendlinjer
Logaritmisk graf över antalet siffror i det största kända primtal per år, av vilka nästan alla har varit Mersenne primtal

Mersenneprimtal och perfekta tal är två djupt sammanlänkade typer av naturliga tal i talteorin . Mersenneprimtal, uppkallade efter munken Marin Mersenne , är primtal som kan uttryckas som

2 p − 1
för något positivt heltal
p
. Till exempel är
3
ett Mersenne-primtal eftersom det är ett primtal och kan uttryckas som
2 2 − 1
. Talen
p
som motsvarar Mersenne-primtal måste själva vara primtal, även om inte alla primtal
p
leder till Mersenne-primtal – till exempel
2 11− 1 = 2047 = 23 × 89
. Under tiden är perfekta tal naturliga tal som är lika med summan av deras positiva egentliga divisorer , som är divisorer exklusive själva talet. Så
6
är ett perfekt tal eftersom de korrekta divisorerna för
6
är
1, 2
och
3
och
1 + 2 + 3 = 6
.

Det finns en en-till-en-överensstämmelse mellan Mersenne-primtalen och de jämna perfekta talen. Detta beror på Euklids–Eulers sats , delvis bevisad av Euklid och kompletterad av Leonhard Euler : jämna tal är perfekta om och endast om de kan uttryckas i formen

2 p − 1 × (2 p − 1)
, där
2 p − 1
är ett Mersenne-primtal. Med andra ord, alla siffror som passar det uttrycket är perfekta, medan alla jämna perfekta siffror passar den formen. Till exempel, i fallet med
p = 2
, är
2 2 − 1 = 3
primtal och
2 2 − 1 × (2 2 − 1) = 2 × 3 = 6
är perfekt.

Det är för närvarande ett öppet problem om det finns ett oändligt antal Mersenne-primtal och till och med perfekta tal. Frekvensen av Mersenne-primtal är föremål för Lenstra–Pomerance–Wagstaff-förmodan , som säger att det förväntade antalet Mersenne-primtal mindre än något givet

x
är
( e γ / log 2) × log log x
, där
e
är Eulers tal ,
γ
är Eulers konstant , och
log
är den naturliga logaritmen . Det är inte heller känt om några udda perfekta tal finns; olika villkor för möjliga udda perfekta tal har bevisats, inklusive en nedre gräns
10 1500
.

Följande är en lista över alla för närvarande kända Mersenne-primtal och perfekta tal, tillsammans med deras motsvarande exponenter

p
. Från och med 2022 finns det 51 kända Mersenne-primtal (och därför perfekta tal), av vilka de största 17 har upptäckts av det distribuerade datorprojektet Great Internet Mersenne Prime Search , eller GIMPS. Nya Mersenne-primtal hittas med hjälp av Lucas-Lehmer-testet (LLT), ett primalitetstest för Mersenne-primtal som är effektivt för binära datorer.

De visade rankningarna är bland index som för närvarande är kända från och med 2022; även om det är osannolikt, kan rangen ändras om mindre upptäcks. Enligt GIMPS har alla möjligheter mindre än den 48:e arbetsexponenten

p = 57 885 161
kontrollerats och verifierats från och med oktober 2021. Upptäcktsåret och upptäckaren är av Mersennes primtal, eftersom det perfekta talet omedelbart följer av Euklides–Eulers sats. Upptäckare betecknade som "GIMPS / namn " hänvisar till GIMPS-upptäckter med hårdvara som används av den personen. Senare poster är extremt långa, så endast de första och sista 6 siffrorna i varje nummer visas.

Tabell över alla 51 för närvarande kända Mersenne-primtal och motsvarande perfekta tal
Rang
sid
Mersenne prime Mersenne primtal Perfekt nummer Perfekta siffror Upptäckt Upptäckare Metod Ref.
1 2 3 1 6 1
Antiken
Känd för antikens grekiska matematiker Oinspelat
2 3 7 1 28 2
3 5 31 2 496 3
4 7 127 3 8128 4
5 13 8191 4 33550336 8
c. 1456
Anonym Försöksuppdelning
6 17 131071 6 8589869056 10
1588
Pietro Cataldi
7 19 524287 6 137438691328 12
8 31 2147483647 10 230584...952128 19
1772
Leonhard Euler Provindelning med modulära begränsningar
9 61 230584...693951 19 265845...842176 37
november 1883
Ivan M. Pervushin Lucas sekvenser
10 89 618970...562111 27 191561...169216 54
juni 1911
Ralph Ernest Powers
11 107 162259...288127 33 131640...728128 65
1 juni 1914
12 127 170141...105727 39 144740...152128 77
10 januari 1876
Édouard Lucas
13 521 686479...057151 157 235627...646976 314
30 januari 1952
Raphael M. Robinson LLTSWAC
14 607 531137...728127 183 141053...328128 366
15 1 279 104079...729087 386 541625...291328 770
25 juni 1952
16 2,203 147597...771007 664 108925...782528 1 327
7 oktober 1952
17 2,281 446087...836351 687 994970...915776 1,373
9 oktober 1952
18 3 217 259117...315071 969 335708...525056 1 937
8 september 1957
Hans Riesel LLT på BESK
19 4,253 190797...484991 1 281 182017...377536 2,561
3 november 1961
Alexander Hurwitz LLT på IBM 7090
20 4,423 285542...580607 1 332 407672...534528 2,663
21 9,689 478220...754111 2 917 114347...577216 5,834
11 maj 1963
Donald B. Gillies LLT på ILLIAC II
22 9,941 346088...463551 2 993 598885...496576 5 985
16 maj 1963
23 11 213 281411...392191 3,376 395961...086336 6,751
2 juni 1963
24 19 937 431542...041471 6 002 931144...942656 12 003
4 mars 1971
Bryant Tuckerman LLT på IBM 360 /91
25 21,701 448679...882751 6,533 100656...605376 13 066
30 oktober 1978
Landon Curt Noll & Laura Nickel LLT på CDC Cyber 174
26 23 209 402874...264511 6,987 811537...666816 13 973
9 februari 1979
Landon Curt Noll
27 44,497 854509...228671 13 395 365093...827456 26,790
8 april 1979
Harry L. Nelson & David Slowinski LLT på Cray-1
28 86,243 536927...438207 25,962 144145...406528 51,924
25 september 1982
David Slowinski
29 110 503 521928...515007 33,265 136204...862528 66,530
29 januari 1988
Walter Colquitt och Luke Welsh LLT på NEC SX -2
30 132 049 512740...061311 39,751 131451...550016 79 502
19 september 1983
David Slowinski et al. ( Cray ) LLT på Cray X-MP
31 216 091 746093...528447 65 050 278327...880128 130 100
1 september 1985
LLT på Cray X-MP/24
32 756,839 174135...677887 227,832 151616...731328 455,663
17 februari 1992
LLT på Harwell Labs Cray -2
33 859,433 129498...142591 258,716 838488...167936 517,430
4 januari 1994
LLT på Cray C90
34 1,257,787 412245...366527 378,632 849732...704128 757,263
3 september 1996
LLT på Cray T94
35 1,398,269 814717...315711 420,921 331882...375616 841,842
13 november 1996
GIMPS / Joel Armengaud LLT / Prime95 på 90 MHz Pentium PC
36 2,976,221 623340...201151 895,932 194276...462976 1,791,864
24 augusti 1997
GIMPS / Gordon Spence LLT / Prime95 på 100 MHz Pentium PC
37 3 021 377 127411...694271 909,526 811686...457856 1 819 050
27 januari 1998
GIMPS / Roland Clarkson LLT / Prime95 på 200 MHz Pentium PC
38 6,972,593 437075...193791 2 098 960 955176...572736 4,197,919
1 juni 1999
GIMPS / Nayan Hajratwala LLT / Prime95 på IBM Aptiva med 350 MHz Pentium II- processor
39 13,466,917 924947...259071 4,053,946 427764...021056 8,107,892
14 november 2001
GIMPS / Michael Cameron LLT / Prime95 på PC med 800 MHz Athlon T-Bird- processor
40 20 996 011 125976...682047 6,320,430 793508...896128 12,640,858
17 november 2003
GIMPS / Michael Shafer LLT / Prime95 på Dell Dimension PC med 2 GHz Pentium 4- processor
41 24,036,583 299410...969407 7,235,733 448233...950528 14,471,465
15 maj 2004
GIMPS / Josh Findley LLT / Prime95 på PC med 2,4 GHz Pentium 4-processor
42 25,964,951 122164...077247 7,816,230 746209...088128 15,632,458
18 februari 2005
GIMPS / Martin Nowak
43 30,402,457 315416...943871 9,152,052 497437...704256 18,304,103
15 december 2005
GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone LLT / Prime95 på PC vid University of Central Missouri
44 32,582,657 124575...967871 9,808,358 775946...120256 19,616,714
4 september 2006
45 37,156,667 202254...220927 11,185,272 204534...480128 22,370,543
6 september 2008
GIMPS / Hans-Michael Elvenich LLT / Prime95 på PC
46 42,643,801 169873...314751 12,837,064 144285...253376 25,674,127
4 juni 2009
GIMPS / Odd Magnar Strindmo LLT / Prime95 på PC med 3 GHz Intel Core 2- processor
47 43,112,609 316470...152511 12,978,189 500767...378816 25,956,377
23 augusti 2008
GIMPS / Edson Smith LLT / Prime95 på Dell OptiPlex PC med Intel Core 2 Duo E6600-processor
48 57,885,161 581887...285951 17,425,170 169296...130176 34,850,340
25 januari 2013
GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 på PC vid University of Central Missouri
* 59,451,331 Lägsta overifierade milstolpe
49 74,207,281 300376...436351 22,338,618 451129...315776 44,677,235
7 januari 2016
GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 på PC med Intel Core i7-4790-processor
50 77,232,917 467333...179071 23,249,425 109200...301056 46,498,850
26 december 2017
GIMPS / Jonathan Pace LLT / Prime95 på PC med Intel Core i5-6600-processor
51 82,589,933 148894...902591 24,862,048 110847...207936 49,724,095
7 december 2018
GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 på PC med Intel Core i5-4590T-processor
* 107,148,487 Lägsta oprövade milstolpe

Anteckningar

Referenser