Fyrkantigt pyramidnummer -

Square pyramidal number

Pyramidtalen var en av de få typerna av tredimensionella figurtal som studerades i grekisk matematik , i verk av Nicomachus , Theon of Smyrna och Iamblichus . Formler för att summera på varandra följande kvadrater för att ge ett kubiskt polynom, vars värden är de kvadratiska pyramidtalen, ges av Archimedes , som använde denna summa som ett lemma som en del av en studie av en kons volym , och av Fibonacci , som en del av en mer generell lösning på problemet med att hitta formler för summor av kvadraters progressioner. De fyrkantiga pyramidtalen var också en av familjerna av figurantal som studerades av japanska matematiker från Wasan-perioden, som gav dem namnet "kirei saijo suida".

Samma problem, formulerat som ett av att räkna kanonkulorna i en fyrkantig pyramid, ställdes av Walter Raleigh till matematikern Thomas Harriot i slutet av 1500-talet, medan båda var på en sjöresa. Problemet med kanonkulor , som frågar om det finns några kvadratiska pyramidal tal som också är andra kvadrattal än 1 och 4900, sägs ha utvecklats ur detta utbyte. Édouard Lucas hittade pyramiden med 4900 bollar med ett kvadratiskt antal bollar och föreslog att det var den enda icke-triviala lösningen genom att göra kanonkulproblemet mer känt. Efter ofullständiga bevis av Lucas och Claude-Séraphin Moret-Blanc gavs det första fullständiga beviset på att inga andra sådana siffror existerar av GN Watson 1918.

Spela media

Om sfärer packas i fyrkantiga pyramider vars antal lager är 1, 2, 3, etc., så är de fyrkantiga pyramidtalen som ger antalet sfärer i varje pyramid:

Dessa tal kan beräknas algebraiskt enligt följande. Om en pyramid av sfärer sönderdelas i sina kvadratiska lager med ett kvadratiskt antal sfärer i varje, då kan det totala antalet sfärer räknas som summan av antalet sfärer i varje kvadrat,

${\displaystyle P_{n}}$

$${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1+4+9+\cdots +n^{2},}$$

och denna summering kan lösas för att ge ett kubiskt polynom , som kan skrivas på flera ekvivalenta sätt:

$${\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6} }={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.}$$

Denna ekvation för summan av kvadrater är ett specialfall av Faulhabers formel för summor av potenser, och kan bevisas genom matematisk induktion .

( t + 1)( t + 2)(2 t + 3)

/

6

= Pt _{+ 1}

.

Geometrisk uppräkning

Alla 30 rutor i ett 4×4 rutnät

kvadratrutnät. Detta nummer kan härledas enligt följande:

• Antalet
  1 × 1
  rutor som finns i rutnätet är
  n ²
  .
• Antalet
  2 × 2
  rutor som finns i rutnätet är
  ( n − 1) ²
  . Dessa kan räknas genom att räkna alla möjliga övre vänstra hörn av
  2 × 2
  rutor.
• Antalet
  k × k
  kvadrater
  (1 ≤ k ≤ n )
  som finns i rutnätet är
  ( n − k + 1) ²
  . Dessa kan räknas genom att räkna alla möjliga övre vänstra hörn av
  k × k
  rutor.

Det följer att antalet kvadrater i ett

n × n

kvadratrutnät är:

$${\displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots ={\frac {n(n+ 1)(2n+1)}{6}}.}$$

Det vill säga lösningen på pusslet ges av det . anses vara ekvivalent, antalet matriser med icke-negativa heltalskoefficienter som summeras till , för udda värden på , är ett kvadratiskt pyramidalt tal.

${\displaystyle P_{n}}$

Relationer till andra figurantal

En fyrkantig pyramid av kanonkulor på Rye Castle i England

4900 bollar arrangerade som en fyrkantig pyramid på sida 24 och en kvadrat på sida 70

Kanonkulaproblemet frågar efter storlekarna på pyramiderna av kanonkulor som också kan spridas ut för att bilda en kvadratisk array, eller motsvarande, vilka nummer är både kvadratiska och kvadratiska pyramidformade. Förutom 1 finns det bara ett annat nummer som har denna egenskap: 4900, vilket är både det 70:e kvadrattalet och det 24:e kvadratens pyramidalnummer.

De kvadratiska pyramidtalen kan uttryckas som summor av binomialkoefficienter :

$${\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.}$$

De binomialkoefficienter som förekommer i denna representation är tetraedriska tal , och denna formel uttrycker ett kvadratiskt pyramidalt tal som summan av två tetraedriska tal på samma sätt som kvadrattal är summan av två på varandra följande triangulära tal . Om en tetraeder reflekteras över en av dess ansikten, bildar de två kopiorna en triangulär bipyramid . De fyrkantiga pyramidtalen är också figurtalen för de triangulära bipyramiderna, och denna formel kan tolkas som en likhet mellan de fyrkantiga pyramidtalen och de triangulära bipyramidtalen. Analogt, reflekterar en kvadratisk pyramid över dess bas producerar en oktaeder, av vilken det följer att varje oktaedriskt tal är summan av två på varandra följande kvadratiska pyramidal tal.

Kvadratiska pyramidtal är också relaterade till tetraedriska tal på ett annat sätt: punkterna från fyra kopior av samma fyrkantiga pyramid kan omarrangeras för att bilda en enda tetraeder med dubbelt så många punkter längs varje kant. Det är,

$${\displaystyle 4P_{n}=T_{2n}={\binom {2n+2}{3}}.}$$

Övriga fastigheter

, även om den konvergerar snabbare. Det är:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{\infty }&(-1)^{i-1}{\frac {1}{P_{i}}}\\&= 1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{14}}-{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{55}}-{\frac { 1}{91}}+{\frac {1}{140}}-{\frac {1}{204}}+\cdots \\&=6(\pi -3)\\&\approx 0,849556.\ \\end{aligned}}}$$

I approximationsteorin bildar sekvenserna av udda tal, summor av udda tal (kvadratnummer), summor av kvadrattal (kvadratpyramidala tal), etc., koefficienterna i en metod för att omvandla Chebyshev approximationer till polynom .

Referenser

externa länkar

• Weisstein, Eric W. , "Square Pyramidal Number" , MathWorld